problemi somma differenza – somma rapporto – differenza rapporto

Per la scuola media esistono tre semplici problemi di continua applicazione

 

Problema somma differenza

Se si conosce la somma s, e  la differenza d di due numeri

con semplici passagi si ottiene:

s=x+y

d=x-y

s+d= x+y+x-y = 2x

s-d = x+y-x+y = 2y

i due numeri sono dati da:

x = ( s + d ) / 2          per trovare il primo numero bisogna addizionare somma e differenza e poi dividere per due
y = ( s – d ) / 2           per trovare il secondo numero bisogna sottrarre dalla somma la differenza e poi dividere per due

 

 

Problema somma rapporto

Se si conosce la somma s di due numeri e il loro rapporto a/b

dalla proporzione

x:y=a:b

essendo x,y i numeri da cercare, a,b i termini della frazione

si ricavano

x=s/(a+b)*a il primo numero è uguale alla somma dei due numeri diviso la somma dei termini della frazione per il primo termine.

y=s/(a+b)*b il secondo numero è uguale alla somma dei due numeri diviso la somma dei termini della frazione per il secondo termine.

 

es.

Due amici hanno pagato per una schedina 5 e 7 euro. Se hanno vinto in tutto 240 euro quanto spetta a ciascuno?

v1=240/(5+7) * 5 = 240/12 * 5 = 20*5 = 100

v2= 240/(5+7) * 7 = 240/12 * 7 = 20 * 7 = 140

 

Problema differenza rapporto

Se si conosce la differenza d di due numeri e il loro rapporto a/b

dalla proporzione

x:y=a:b

essendo x,y i numeri da cercare, a,b i termini della frazione

si ricavano

x=d/(b-a)*a il primo numero è uguale alla differnza dei due numeri diviso la differnza dei termini della frazione per il primo termine.

y=d/(b-a)*b il secondo numero è uguale alla differnza dei due numeri diviso la differenza dei termini della frazione per il secondo termine

 

 

Numerazione Romana

I romani utilizzavano un sistema di numerazione diverso da quello adottato oggi nella maggior parte del mondo.

Esso si basa sui seguenti simboli:

I = 1 — V = 5 — X = 10 — L = 50 — C= 100 — D = 500 — M = 1000

Il sistema romano in origine era completamente di tipo additivo con le seguenti due regole

I, X, C, M : non si ripetevano più di quattro volte.

V, L, D una sola volta.

Così ad esempio:

MDCCCCXXIIII=1924


nel medioevo si diffusero altre regole per scrivere i numeri in modo più compatto e sono quelle normalmente utilizzate oggi:

a) I, X, C, M : non si ripetono più di tre volte.

CCCXXX=330

b) V, L, D non si possono ripetere.

MDCCXXXV=1735

c) I simboli si addizionano( a meno della regola successiva).

d) Se uno dei simboli I, X, C precede immediatamente uno maggiore di esso, si sottrae dal secondo nei seguenti casi di base e derivati

IV=4                 IX=9                XL=40               XC=90                         CD=400                  CM=900

IV = 4                           CMXLIV=944

e) Una cifra con segno sopra va moltiplicata per 1.000, con un riquadro di tre segni 1.000.000 ecc..

_

X CCXXI=10221



alcuni numeri:

1 = I

2 = II

3 = III

4 = IV

5 = V

6 = VI

7 = VII

8 = VIII

9 = IX

10 = X

11 = XI

12 = XII

13 = XIII

14 = XIV

15 = XV

16 = XVI

17 = XVII

18 = XVIII

19 = XIX

20 = XX

21 = XXI

22 = XXII

..

29 = XXIX

30 = XXX

..

40 =XL

41 = XLI

..

49 = XLIX

50 = L

51 = LI

..

59 = LIX

60 = LX

70 = LXX

80 = LXXX

90 = XC

..

98 = XCVIII

99 = XCIX

100 = C

101 = C

200 = CC

300 = CC

400 = CD

500 = D

1000 = M

Nel sistema romano attuale le operazioni, come la somma, la sottrazione, la moltiplicazione, ecc.,  risultano particolarmente complicate.

I romani utilizzavano per i calcoli una versione dell’abaco.


Con il sistema originale puramente additivo si ptrebbe eseguire la somma nel seguente modo:

1) Scrivere i due numeri uno di seguito all’altro

2) Riordinare le cifre in modo decrescente

3) Partendo da destra raggruppare le cifre ripetute che superano i limiti visti sopra

4) Ripetere il punto 3 se necessario

CLXXXIII + LXXVIII =

CLXXXIIILXXVIII =    (1)

CLLXXXXXVIIIIII =    (2)

CLLXXXXXVVI =     (3)

CLLXXXXXXI =        (3-4)

CLLLXI =                  (3-4)

CCLXI


Per la moltiplicazione si dovrebbero dapprima costruire le tabelline:

I x I = I   ;  I x V = V   ;  I x X = X   ;   I x L = L    ;   I x C = C    ;    I x D = D     ;     I x M = M                   __

V x V =  XXV     ;      V x X = L       ;      V x L = CCL     ;    V x C = D      ;    V x D = MMD    ;    V x M  = V

.                                                                                     __                       __

X x X = C     ;   X x L = D    ;     X x C = M      ;     X x D = V      ;    X x M = X

.                                           __                      ____                      __

L x L = MMD      ;      L x C = V     ;     L x D = XXV     ;     L X M = L

.           __                             __                                     __

C x C = X                   C x D = L               ;         C x M = C

.           ___                                __                                  __   __

D x D = CCL                   D x M = D                      M x M = M =! I  !


poi si potrebbe procedere nel seguente modo:

1) Moltiplicare ogni cifra del primo numero per ogni cifra del secondo

2) Addizionare i numeri ottenuti

esempio 1

VII x VII = XXVVV + VII + VII = XXVVVVVIIII = XXXXVIIII

esempio 2

XXI x XVI = CLX + CLX + XVI = CLXCLXXVI = CCLLXXXVI=CCCXXXVI

 

esempio 3

XXXVII x XXII = CCXX + CCXX+ CCXX + LLVV + XXII + XXII = CCXXCCXXCCXXLLVVXXIIXXII = CCCCCCLLXXXXXXXXXXVVIIII = CCCCCCLLXXXXXXXXXXXIIII = CCCCC CLLCXIIII=CCCCC CCCXIIII = DCCCXIIII

od anche

XXXVII x XXII = CCXX + CCXX+ CCXX + LLVV + XXII + XXII = DCLXCXXXXXIIII = DCCLLXIIII = DCCCXIIII

esmpio 4

VII x CCI = DDV + CCI + CCI = DDVCCICCI = DDCCCCVII=MCCCCVII



esame 2003 2004 matematica scientifico quesito 10

10. Considerate gli insiemi A = {1,2,3,4} e B = {a,b,c}; quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?

Consideriamo tutte le possibili funzioni costanti

f(1)=a, f(2)=a, f(3)=a, f(4)=a

aaaa

f(1)=b, f(2)=b, f(3)=b, f(4)=b

bbbb

f(1)=c, f(2)=c, f(3)=c, f(4)=c

cccc

Tutte altre possibili fuzioni si ottengono sostituendo almeno uno dei valori risultati; ad esempio

f(1)=a, f(2)=a, f(3)=a, f(4)=c

aaac

Ci si rende conto che ogni funzione può essere caratterizzata come un insieme di valori del scondo insieme formato da quattro elementi, anche ripetuti;

Si tratta quindi di permutazioni di 3 a quattro a quattro con ripetizione il cui numero è dato da:

PR(3,4)=3^4=81

 

le altezze di un triangolo

triagoli.jpgUn triangolo ha sempre tre altezze.

Esse si incontrano in un punto detto ortocentro

In un triangolo acutangolo l’ortocentro è interno al triangolo

In un triangolo ottusangolo è esterno

In un triangolo rettangolo coincide con il vertice comune ai due cateti.

 

In un triangolo scaleno le tre altezze sono diverse tra loro

In un triangolo isoscele due hanno la stessa misura

In un triangolo equilatero le tre altezze hanno la stessa misura

 

Problema

In un triangolo rettangolo i due cateti misurano rispettivamente 40cm e 30 cm. Calcolare la misura delle tre altezze del triangolo

dati

b= 40 cm   (cateto maggiore)

c= 30 cm (cateto minore)

soluzione

a = radq(b^2+c^2)   = 50 cm    ( ipotenusa = radice quadrata della somma del qudrato del primo cateto e del quadrato del secondo cateto)

h1= b*c/a 40*30/50  = 24 cm    ( altezza relativa all’ipotenusa = cateto per cateto diviso ipotenusa)

h2 = c = 30 cm  (l’altezza relativa al cateto maggiore coincide con il cateto minore)

h3 = b = 40 cm   (l’altezza relativa al cateto minore coincide con il cateto maggiore)

 

Problema

In un triangolo isoscele la base misura cm 10 e l’altezza ad essa relativa cm 12. Calcolare la misura delle altre due altezze.

dati

b= 10 (base del triangolo isoscele)

h= 12 cm ( altezza relativa alla base)

soluzione

As = b* h / 2 = 10 * 12 / 2 = 60 cmq  ( area triangolo= base per altezza diviso due)

l= radq ((b/2)^2 + h^2) = radq(25+144)= radq(169)=13 cm (il alto obliquo viene trovato tramite il teo. di Pitagora)

hl= As*2/l = 60*2/13=120/13 = 9,23 cm (misura delle due altezze, uguali tra loro, relative ai lati obliqui= doppio dell’area diviso lato obliquo)

 

 

 

Il titolo del blog

Voglio spiegare la motivazione del titolo.

Da ragazzo in tanti libri, fumetti, cartoni si parlava della mitica via dell’ovest per raggiungere l’est.

Cristoforo Colombo aveva così scoperto l’America . . .Magellano il Pacifico.

In tempi più recenti doveva essere un mitico passaggio attraverso l’artide per raggiungere velocemente l’Asia.

Oggi attraverso l’artide ci passano i sottomarini nucleari e le navi rompighiaccio, gli eschimesi non abitano più negli igloo e gli orsi polari sono in via di estizione per lo scioglimento della calotta polare.

Allora come raggiungere il mitico e ricco oriente?? Ma esiste questo oriente?