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Auguri
abramosara
problemi somma differenza – somma rapporto – differenza rapporto
Per la scuola media esistono tre semplici problemi di continua applicazione
Problema somma differenza
Se si conosce la somma s, e la differenza d di due numeri
con semplici passagi si ottiene:
s=x+y
d=x-y
s+d= x+y+x-y = 2x
s-d = x+y-x+y = 2y
i due numeri sono dati da:
x = ( s + d ) / 2 per trovare il primo numero bisogna addizionare somma e differenza e poi dividere per due
y = ( s – d ) / 2 per trovare il secondo numero bisogna sottrarre dalla somma la differenza e poi dividere per due
Problema somma rapporto
Se si conosce la somma s di due numeri e il loro rapporto a/b
dalla proporzione
x:y=a:b
essendo x,y i numeri da cercare, a,b i termini della frazione
si ricavano
x=s/(a+b)*a il primo numero è uguale alla somma dei due numeri diviso la somma dei termini della frazione per il primo termine.
y=s/(a+b)*b il secondo numero è uguale alla somma dei due numeri diviso la somma dei termini della frazione per il secondo termine.
es.
Due amici hanno pagato per una schedina 5 e 7 euro. Se hanno vinto in tutto 240 euro quanto spetta a ciascuno?
v1=240/(5+7) * 5 = 240/12 * 5 = 20*5 = 100
v2= 240/(5+7) * 7 = 240/12 * 7 = 20 * 7 = 140
Problema differenza rapporto
Se si conosce la differenza d di due numeri e il loro rapporto a/b
dalla proporzione
x:y=a:b
essendo x,y i numeri da cercare, a,b i termini della frazione
si ricavano
x=d/(b-a)*a il primo numero è uguale alla differnza dei due numeri diviso la differnza dei termini della frazione per il primo termine.
y=d/(b-a)*b il secondo numero è uguale alla differnza dei due numeri diviso la differenza dei termini della frazione per il secondo termine
Numerazione Romana
I romani utilizzavano un sistema di numerazione diverso da quello adottato oggi nella maggior parte del mondo.
Esso si basa sui seguenti simboli:
I = 1 — V = 5 — X = 10 — L = 50 — C= 100 — D = 500 — M = 1000
Il sistema romano in origine era completamente di tipo additivo con le seguenti due regole
I, X, C, M : non si ripetevano più di quattro volte.
V, L, D una sola volta.
Così ad esempio:
MDCCCCXXIIII=1924
nel medioevo si diffusero altre regole per scrivere i numeri in modo più compatto e sono quelle normalmente utilizzate oggi:
a) I, X, C, M : non si ripetono più di tre volte.
CCCXXX=330
b) V, L, D non si possono ripetere.
MDCCXXXV=1735
c) I simboli si addizionano( a meno della regola successiva).
d) Se uno dei simboli I, X, C precede immediatamente uno maggiore di esso, si sottrae dal secondo nei seguenti casi di base e derivati
IV=4 IX=9 XL=40 XC=90 CD=400 CM=900
IV = 4 CMXLIV=944
e) Una cifra con segno sopra va moltiplicata per 1.000, con un riquadro di tre segni 1.000.000 ecc..
_
X CCXXI=10221
alcuni numeri:
1 = I
2 = II
3 = III
4 = IV
5 = V
6 = VI
7 = VII
8 = VIII
9 = IX
10 = X
11 = XI
12 = XII
13 = XIII
14 = XIV
15 = XV
16 = XVI
17 = XVII
18 = XVIII
19 = XIX
20 = XX
21 = XXI
22 = XXII
..
29 = XXIX
30 = XXX
..
40 =XL
41 = XLI
..
49 = XLIX
50 = L
51 = LI
..
59 = LIX
60 = LX
70 = LXX
80 = LXXX
90 = XC
..
98 = XCVIII
99 = XCIX
100 = C
101 = C
200 = CC
300 = CC
400 = CD
500 = D
1000 = M
Nel sistema romano attuale le operazioni, come la somma, la sottrazione, la moltiplicazione, ecc., risultano particolarmente complicate.
I romani utilizzavano per i calcoli una versione dell’abaco.
Con il sistema originale puramente additivo si ptrebbe eseguire la somma nel seguente modo:
1) Scrivere i due numeri uno di seguito all’altro
2) Riordinare le cifre in modo decrescente
3) Partendo da destra raggruppare le cifre ripetute che superano i limiti visti sopra
4) Ripetere il punto 3 se necessario
CLXXXIII + LXXVIII =
CLXXXIIILXXVIII = (1)
CLLXXXXXVIIIIII = (2)
CLLXXXXXVVI = (3)
CLLXXXXXXI = (3-4)
CLLLXI = (3-4)
CCLXI
Per la moltiplicazione si dovrebbero dapprima costruire le tabelline:
I x I = I ; I x V = V ; I x X = X ; I x L = L ; I x C = C ; I x D = D ; I x M = M __
V x V = XXV ; V x X = L ; V x L = CCL ; V x C = D ; V x D = MMD ; V x M = V
. __ __
X x X = C ; X x L = D ; X x C = M ; X x D = V ; X x M = X
. __ ____ __
L x L = MMD ; L x C = V ; L x D = XXV ; L X M = L
. __ __ __
C x C = X C x D = L ; C x M = C
. ___ __ __ __
D x D = CCL D x M = D M x M = M =! I !
poi si potrebbe procedere nel seguente modo:
1) Moltiplicare ogni cifra del primo numero per ogni cifra del secondo
2) Addizionare i numeri ottenuti
esempio 1
VII x VII = XXVVV + VII + VII = XXVVVVVIIII = XXXXVIIII
esempio 2
XXI x XVI = CLX + CLX + XVI = CLXCLXXVI = CCLLXXXVI=CCCXXXVI
esempio 3
XXXVII x XXII = CCXX + CCXX+ CCXX + LLVV + XXII + XXII = CCXXCCXXCCXXLLVVXXIIXXII = CCCCCCLLXXXXXXXXXXVVIIII = CCCCCCLLXXXXXXXXXXXIIII = CCCCC CLLCXIIII=CCCCC CCCXIIII = DCCCXIIII
od anche
XXXVII x XXII = CCXX + CCXX+ CCXX + LLVV + XXII + XXII = DCLXCXXXXXIIII = DCCLLXIIII = DCCCXIIII
esmpio 4
VII x CCI = DDV + CCI + CCI = DDVCCICCI = DDCCCCVII=MCCCCVII
esame 2003 2004 matematica scientifico quesito 10
10. Considerate gli insiemi A = {1,2,3,4} e B = {a,b,c}; quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?
Consideriamo tutte le possibili funzioni costanti
f(1)=a, f(2)=a, f(3)=a, f(4)=a
aaaa
f(1)=b, f(2)=b, f(3)=b, f(4)=b
bbbb
f(1)=c, f(2)=c, f(3)=c, f(4)=c
cccc
Tutte altre possibili fuzioni si ottengono sostituendo almeno uno dei valori risultati; ad esempio
f(1)=a, f(2)=a, f(3)=a, f(4)=c
aaac
Ci si rende conto che ogni funzione può essere caratterizzata come un insieme di valori del scondo insieme formato da quattro elementi, anche ripetuti;
Si tratta quindi di permutazioni di 3 a quattro a quattro con ripetizione il cui numero è dato da:
PR(3,4)=3^4=81
le altezze di un triangolo
Un triangolo ha sempre tre altezze.
Esse si incontrano in un punto detto ortocentro
In un triangolo acutangolo l’ortocentro è interno al triangolo
In un triangolo ottusangolo è esterno
In un triangolo rettangolo coincide con il vertice comune ai due cateti.
In un triangolo scaleno le tre altezze sono diverse tra loro
In un triangolo isoscele due hanno la stessa misura
In un triangolo equilatero le tre altezze hanno la stessa misura
Problema
In un triangolo rettangolo i due cateti misurano rispettivamente 40cm e 30 cm. Calcolare la misura delle tre altezze del triangolo
dati
b= 40 cm (cateto maggiore)
c= 30 cm (cateto minore)
soluzione
a = radq(b^2+c^2) = 50 cm ( ipotenusa = radice quadrata della somma del qudrato del primo cateto e del quadrato del secondo cateto)
h1= b*c/a 40*30/50 = 24 cm ( altezza relativa all’ipotenusa = cateto per cateto diviso ipotenusa)
h2 = c = 30 cm (l’altezza relativa al cateto maggiore coincide con il cateto minore)
h3 = b = 40 cm (l’altezza relativa al cateto minore coincide con il cateto maggiore)
Problema
In un triangolo isoscele la base misura cm 10 e l’altezza ad essa relativa cm 12. Calcolare la misura delle altre due altezze.
dati
b= 10 (base del triangolo isoscele)
h= 12 cm ( altezza relativa alla base)
soluzione
As = b* h / 2 = 10 * 12 / 2 = 60 cmq ( area triangolo= base per altezza diviso due)
l= radq ((b/2)^2 + h^2) = radq(25+144)= radq(169)=13 cm (il alto obliquo viene trovato tramite il teo. di Pitagora)
hl= As*2/l = 60*2/13=120/13 = 9,23 cm (misura delle due altezze, uguali tra loro, relative ai lati obliqui= doppio dell’area diviso lato obliquo)
Il titolo del blog
Voglio spiegare la motivazione del titolo.
Da ragazzo in tanti libri, fumetti, cartoni si parlava della mitica via dell’ovest per raggiungere l’est.
Cristoforo Colombo aveva così scoperto l’America . . .Magellano il Pacifico.
In tempi più recenti doveva essere un mitico passaggio attraverso l’artide per raggiungere velocemente l’Asia.
Oggi attraverso l’artide ci passano i sottomarini nucleari e le navi rompighiaccio, gli eschimesi non abitano più negli igloo e gli orsi polari sono in via di estizione per lo scioglimento della calotta polare.
Allora come raggiungere il mitico e ricco oriente?? Ma esiste questo oriente?